Les suites - Maths-cours.fr (2024)

Définition

On dit qu'une suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$(u​n​​)​n∈N​​ est une suite géométrique s'il existe un nombre réel $q$q tel que :

pour tout $n\in \mathbb{N}$n∈N, $u_{n+1}=q \times u_{n}$u​n+1​​=q×u​n​​

Le réel $q$q s'appelle la raison de la suite géométrique $\left(u_{n}\right)$(u​n​​).

Remarque

Pour démontrer qu'une suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$(u​n​​)​n∈N​​ dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$​u​n​​​​u​n+1​​​​.

Si ce rapport est une constante $q$q, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison $q$q.

Exemple

Soit la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$(u​n​​)​n∈N​​ définie par $u_{n}=\frac{3}{2^{n}}$u​n​​=​2​n​​​​3​​.

Les termes de la suite sont tous strictement positifs et

$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=$​u​n​​​​u​n+1​​​​=$\frac{3}{2^{n+1}}\times \frac{2^{n}}{3}=\frac{2^{n}}{2^{n+1}}=$​2​n+1​​​​3​​×​3​​2​n​​​​=​2​n+1​​​​2​n​​​​=$\frac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\frac{1}{2}$​2×2​n​​​​2​n​​​​=​2​​1​​

La suite $\left(u_{n}\right)$(u​n​​) est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$​2​​1​​

Propriété

Pour $n$n et $k$k quelconques entiers naturels, si la suite $\left(u_{n}\right)$(u​n​​) est géométrique de raison $q$q :$u_{n}=u_{k}\times q^{n - k}$u​n​​=u​k​​×q​n−k​​.

En particulier $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$u​n​​=u​0​​×q​n​​.

Propriété

Réciproquement, soient $a$a et $b$b deux nombres réels. La suite $\left(u_{n}\right)$(u​n​​) définie par $u_{n}=a\times b^{n}$u​n​​=a×b​n​​ suite est une suite géométrique de raison $q=b$q=b et de premier terme $u_{0}=a$u​0​​=a.

Démonstration

$u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b$u​n+1​​=a×b​n+1​​=a×b​n​​×b=u​n​​×b

et

$u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a$u​0​​=a×b​0​​=a×1=a

Théorème

Soit $\left(u_{n}\right)$(u​n​​)une suite géométrique de raison $q > 0$q>0 et de premier terme strictement positif :

• Si q >1, la suite $\left(u_{n}\right)$(u​n​​)est strictement croissante

• Si 0 < q <1, la suite $\left(u_{n}\right)$(u​n​​)est strictement décroissante

• Si q=1, la suite $\left(u_{n}\right)$(u​n​​)est constante

Théorème

Si $\left(u_{n}\right)$(u​n​​) et $\left(v_{n}\right)$(v​n​​) sont deux suites géométriques de raison respectives $q$q et $q^{\prime}$q​′​​ alors le produit $\left(w_{n}\right)$(w​n​​) de ces deux suites défini par :

$w_{n}=u_{n}\times v_{n}$w​n​​=u​n​​×v​n​​

est une suite géométrique de raison $q^{\prime\prime}=q\times q^{\prime}$q​′′​​=q×q​′​​

Théorème

Soit $q$q un nombre réel différent de 1:

$1+q+q^{2}+ . . . +q^{n} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$1+q+q​2​​+...+q​n​​=​1−q​​1−q​n+1​​​​

Remarque

Cette formule n'est pas valable pour $q=1$q=1. Mais dans ce cas le calcul est immédiat car tous les termes sont égaux à 1.

Exemple

Soit à calculer la somme $S=1+2+4+8+16 + . . .+2^{n}$S=1+2+4+8+16+...+2​n​​

Donc:

$S=\frac{1 - 2^{n+1}}{1 - 2}=\frac{1 - 2^{n+1}}{ - 1}=2^{n+1} - 1$S=​1−2​​1−2​n+1​​​​=​−1​​1−2​n+1​​​​=2​n+1​​−1

Théorème

Soit $q$q un nombre réel positif.

• Si $q > 1$q>1 : alors $q^{n}$q​n​​ est aussi grand que l'on veut dès que $n$n est suffisamment grand. On dit que la suite $\left(q^{n}\right)$(q​n​​) tend vers $+\infty$+∞ et on écrit :

  $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty } q^{n} = +\infty$​n→+∞​lim​​q​n​​=+∞ ( ou $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left(q^{n}\right) = +\infty$​n→+∞​lim​​(q​n​​)=+∞)

• Si $0 \leqslant q < 1$0⩽q<1 : alors $q^{n}$q​n​​ est aussi proche de zéro que l'on veut dès que $n$n est suffisamment grand. On dit que la suite $\left(q^{n}\right)$(q​n​​) tend vers $0$0 et on écrit :

  $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty } q^{n} = 0$​n→+∞​lim​​q​n​​=0 ( ou $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left(q^{n}\right) = 0$​n→+∞​lim​​(q​n​​)=0)

Remarque

Pour $q=1$q=1 $q^{n}=1^{n}=1$q​n​​=1​n​​=1; la suite est constante, égale à $1$1, et tend donc vers $1$1;

Définition

Une suite arithmético-géométrique $u_{n}$u​n​​ est définie par son premier terme $u_{0}$u​0​​ et une relation de récurrence du type :

$u_{n+1} = a\times u_{n}+b$u​n+1​​=a×u​n​​+b pour tout entier $n$n

où $a$a et $b$b sont deux nombres réels.

Remarque

Attention : Ces suites ne sont ni arithmétiques (sauf si $a=1$a=1) ni géométriques (sauf si $b=0$b=0).

Propriété

Il existe un nombre réel $k$k tel que la suite $v_{n}$v​n​​ définie, pour tout entier $n$n, par $v_{n}=u_{n}+k$v​n​​=u​n​​+k soit une suite géométrique de raison $a$a.

Remarques

• En général, dans les exercices, le nombre $k$k vous sera donné (et si ce n'est pas le cas on vous indiquera une démarche pour le trouver). On vous demandera de prouver que $v_{n}$v​n​​ est une suite géométrique de raison $a$a.

• Puisque $v_{n}=u_{n}+k$v​n​​=u​n​​+k, pour tout entier $n$n, on a en particulier $v_{0}=u_{0}+k$v​0​​=u​0​​+k ce qui permet de connaître le premier terme de la suite $v_{n}$v​n​​.

• $v_{n}=u_{n}+k$v​n​​=u​n​​+k signifie aussi que $u_{n}=v_{n} - k$u​n​​=v​n​​−k.

  Donc une fois que l'on connaît $v_{n}$v​n​​ on peut trouver $u_{n}$u​n​​ (voir exemple ci-dessous)

Exemple détaillé

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$(u​n​​) définie par $u_{0}=5$u​0​​=5 et $u_{n+1}=0,6u_{n}+4$u​n+1​​=0,6u​n​​+4.

1. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$(v​n​​) définie par $v_{n}=u_{n} - 10$v​n​​=u​n​​−10 est une suite géométrique.

2. En déduire l'expression de $u_{n}$u​n​​ en fonction de $n$n.

1. Montrons que la suite $\left(v_{n}\right)$(v​n​​) est une suite géométrique Pour montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$(v​n​​) est géométrique on va calculer $v_{n+1}$v​n+1​​ en fonction de $v_{n}$v​n​​.

   $v_{n}=u_{n} - 10$v​n​​=u​n​​−10 pour tout entier $n$n donc :

   $v_{n+1}=u_{n+1} - 10$v​n+1​​=u​n+1​​−10

   or on sait que

   $u_{n+1}=0,6u_{n}+4$u​n+1​​=0,6u​n​​+4

   donc

   $v_{n+1}=0,6u_{n}+4 - 10 = 0,6u_{n} - 6$v​n+1​​=0,6u​n​​+4−10=0,6u​n​​−6

   Ici, une petite astuce consiste à mettre $0,6$0,6 en facteur (on peut également dire que $u_{n}=v_{n}+10$u​n​​=v​n​​+10 et remplacer $u_{n}$u​n​​ par $v_{n}+10$v​n​​+10)

   $v_{n+1}=0,6u_{n} - 0,6\times 10=0,6\left(u_{n} - 10\right)=0,6v_{n}$v​n+1​​=0,6u​n​​−0,6×10=0,6(u​n​​−10)=0,6v​n​​

   On a bien une relation du type $v_{n+1}=q\times v_{n}$v​n+1​​=q×v​n​​ avec $q=0,6$q=0,6 ce qui montre que la suite $\left(v_{n}\right)$(v​n​​) est une suite géométrique de raison $0,6$0,6.

2. Expression de $u_{n}$u​n​​ en fonction de $n$n Par ailleurs, $v_{0}=u_{0} - 10=5 - 10= - 5$v​0​​=u​0​​−10=5−10=−5

   $\left(v_{n}\right)$(v​n​​) est une suite géométrique de premier terme $v_{0}=5$v​0​​=5 et de raison $q=0,6$q=0,6 donc pour tout entier $n$n:

   $v_{n}=v_{0}\times q^{n}= - 5\times 0,6^{n}$v​n​​=v​0​​×q​n​​=−5×0,6​n​​

   Comme $u_{n}=v_{n}+10$u​n​​=v​n​​+10, on obtient finalement :

   $u_{n}= - 5\times 0,6^{n}+10$u​n​​=−5×0,6​n​​+10