Exercices corrigés -Bases de la logique - propositions (2024)

Trouver des propositions $P$ et $Q$ telles que

1. $P\implies Q$ est vrai et $Q\implies P$ est vrai.
2. $P\implies Q$ est faux et $Q\implies P$ est vrai.
3. $P\implies Q$ est faux et $Q\implies P$ est faux.

On dit d'un opérateur logique qu'il est universel s'il permet de reconstituer tous les autres opérateurs logiques. En pratique, il suffit de vérifier que l'on peut reconstituer les trois opérateurs logiques $\textrm{NON}$, $\textrm{OU}$ et $\textrm{ET}$ pour montrer qu'un opérateur est universel.Démontrer que les deux opérateurs suivants sont universels :

1. l'opérateur $\textrm{NAND}$, défini par $A\textrm{ NAND }B=\textrm{NON}(A\textrm{ ET }B)$;
2. l'opérateur $\textrm{NOR}$, défini par $A\textrm{ NOR }B=\textrm{NON}(A\textrm{ OU }B)$.

Écrire sous forme normale conjonctive et sous forme normale disjonctive les propositions ci-dessous :

1. $(\lnot p \wedge q) \implies r$;
2. $\lnot(p \vee \lnot q) \wedge (s \implies t)$;
3. $\lnot(p \wedge q) \wedge (p \vee q)$;

"S'il pleut, Abel prend un parapluie. Béatrice ne prend jamais de parapluie s'il ne pleut pas et en prend toujours un quand il pleut". Que peut-on déduire de ces affirmationsdans les différentes situations ci-dessous? Justifier soigneusement vos réponses en introduisant 3 propositions logiques $p$, $q$ et $r$.

1. Abel se promène avec un parapluie.
2. Abel se promène sans parapluie.
3. Béatrice se promène avec un parapluie.
4. Béatrice se promène sans parapluie.
5. Il ne pleut pas.
6. Il pleut.

On rappelle qu'un entier $p$ divise $n$, et on note $p|n$, s'il existe un entier relatif $k$ tel que $n=k\times p$.

1. Est-ce que $6|n$ est une condition nécessaire à ce que $n$ soit pair?
2. Est-ce que $6|n$ est une condition suffisante à ce que $n$ soit pair?

Trouver des conditions nécessaires (pas forcément suffisantes) à chacune des propositions suivantes :

1. Avoir son bac.
2. Le point $A$ appartient au segment $[BC]$.
3. Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.

Trouver des conditions suffisantes (pas forcément nécessaires) à chacune des propositions suivantes :

1. Avoir son bac.
2. Le point $A$ appartient au segment $[BC]$.
3. Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.

Soit la proposition $P$ : "Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle" et les propositions

1. $Q1$ : "Les diagonales de $ABCD$ ont même longueur"
2. $Q2$ : "$ABCD$ est un carré"
3. $Q3$ : "$ABCD$ est un parallélogramme ayant un angle droit"
4. $Q4$ : "Les diagonales de $ABCD$ sont médiatrices l'une de l'autre"
5. $Q5$ : "Les diagonales de $ABCD$ ont même milieu".

Dire si chacune des propositions $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $Q_4$, $Q_5$ est pour $P$ une condition nécessaire non suffisante, une condition suffisante non nécessaire, une condition nécessaire et suffisante, ou ni l'un ni l'autre.

Parmi toutes les propositions suivantes, regrouper par paquets celles qui sont équivalentes :

1. Tu auras ton examen si tu travailles régulièrement.
2. Pour avoir son examen, il faut travailler régulièrement.
3. Si tu ne travailles pas régulièrement, tu n'auras pas ton examen.
4. Il est nécessaire de travailler régulièrement pour avoir son examen.
5. Pour avoir son examen, il suffit de travailler régulièrement.
6. Ne pas travailler régulièrement entraîne un échec à l'examen.
7. Si tu n'as pas ton examen, c'est que tu n'as pas travaillé régulièrement.
8. Travail régulier implique réussite à l'examen.
9. On ne peut avoir son examen qu'en travaillant régulièrement

Déterminer parmi les propositions suivantes lesquelles sont vraies :

1. 136 est un multiple de 17 et 2 divise 167.
2. 136 est un multiple de 17 ou 2 divise 167.
3. $\exists x\in \mathbb R,\ (x+1=0\ \textrm{ et }x+2=0)$.
4. $(\exists x\in\mathbb R,\ x+1=0)\textrm{ et }(\exists x\in\mathbb R,\ x+2=0)$.
5. $\forall x\in\mathbb R,\ (x+1\neq 0\textrm{ ou }x+2\neq 0)$.
6. $\exists x\in\mathbb R^*,\ \forall y\in\mathbb R^*,\ \forall z\in\mathbb R^*,\ z-xy=0$;
7. $\forall y\in\mathbb R^*,\exists x\in\mathbb R^*,\ \forall z\in\mathbb R^*,\ z-xy=0$;
8. $\forall y\in\mathbb R^*,\forall z\in\mathbb R^*,\ \exists x\in\mathbb R^*,\ z-xy=0$;
9. $\exists a\in\mathbb R,\ \forall \veps>0,\ |a|<\veps$;
10. $\forall \veps>0,\ \exists a\in\mathbb R,\ |a|<\veps$.

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Nier les assertions suivantes :

1. $\forall x\in \mathbb R,\ f(x)\neq 0$.
2. $\forall M>0,\ \exists A>0,\ \forall x\geq A,\ f(x)>M$.
3. $\forall x\in \mathbb R,\ f(x)>0\implies x\leq 0$.
4. $\forall \veps>0,\ \exists \eta>0, \forall (x,y)\in I^2,\ \big(|x-y|\leq \eta\implies |f(x)-f(y)|\leq\veps\big).$

Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $C_n$ la courbe d'équation $y=(1+x)^n$ et $D_n$ la droite d'équation $y=1+nx$.

1. Rappeler l'équation de la tangente à $C_n$ au point $A$ de $C_ n$ d'abscisse 0.
2. Tracer (par exemple à l'aide d'un logiciel) $C_n$ et $D_n$ lorsque $n=2,3$.
3. En vous aidant du graphique pour obtenir une conjecture, démontrer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
   1. $\forall n\in\mathbb N^*,\ \forall x\in\mathbb R,\ (1+x)^n\geq 1+nx$;
   2. $\forall n\in\mathbb N^*,\ \forall x\in\mathbb R_+,\ (1+x)^n \geq 1+nx$;
   3. $\exists n\in\mathbb N^*,\ \forall x\in\mathbb R,\ (1+x)^n =1+nx$;
   4. $\forall n\in\mathbb N^*,\ \exists x\in\mathbb R,\ (1+x)^n=1+nx$;
   5. $\exists n\in\mathbb N^*,\ \forall x\in\mathbb R^*,\ (1+x)^n>1+nx$.

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes :

1. $f$ est constante;
2. $f$ n'est pas constante;
3. $f$ s'annule;
4. $f$ est périodique.

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Énoncer en langage courant les assertions suivantes écrites à l'aide de quantificateurs. Peut-on trouverune fonction qui satisfait cette assertion? Qui ne la satisfait pas?

1. $\forall x\in \mathbb R,\ \exists y\in \mathbb R,\ f(x)< f(y);$
2. $\forall x\in\mathbb R,\ \exists T\in\mathbb R,\ f(x)=f(x+T);$
3. $\forall x\in\mathbb R,\ \exists T\in\mathbb R^*,\ f(x)=f(x+T);$
4. $\exists x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R,\ y=f(x).$

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. On considère la proposition $p$ suivante :$$p=(\exists t\in\mathbb R,\ \forall x\in\mathbb R,\ f(x)<t).$$

1. Écrire la négation de $p$.
2. Donner un exemple de fonction $f$ qui vérifie $p$; un exemple qui ne vérifie pas $p$.
3. Parmi les propositions ci-dessous, déterminer celles qui sont équivalentes à $p$, celles qui sont toujours vraies, celles qui sont toujours fausses, et celles pour lesquelles on ne peut rien dire.
   1. $p_1=(\exists x\in\mathbb R,\ \forall t\in\mathbb R,\ f(t)<x);$
   2. $p_2=(\exists t\in\mathbb R,\ \forall x\in\mathbb R,\ f(t)<x);$
   3. $p_3=(\forall t\in\mathbb R,\ \exists x\in\mathbb R,\ f(x)<t);$
   4. $p_4=(\forall t\in\mathbb R,\ \exists x\in\mathbb R,\ f(t)<x).$